route.ts（Route Handler）が必要になるのは、どういう場合ですか。

HTTP のエンドポイントとして外に見せる必要があるときです。Webhook の受け口、モバイルアプリから叩くAPI、JSON や CSV など HTML 以外を返す用途が該当します。

面接官が見ているのはServer Function との使い分け。両方あることの意味を説明できるか。

よくある答えと、面談でどう見られるか

外部から叩かれる口が要る場合。Webhook の受け口やモバイルからのAPIなど
自分の画面から送るだけなら Server Function の方が手数が少ないです。
自分の画面からのフォーム送信は、必ずこちらを使う
使えますが必須ではありません。エンドポイント設計の手間が増えるだけになります。
Server Function より新しい仕組みなので、基本はこちらに寄せる
新旧では選びません。外部に口が要るかどうかで分かれます。
HTML 以外（JSON や CSV など）を返す必要がある場合
そのための口です。公式も Backend for Frontend のパターンとして紹介しています。

分岐点は「HTTP のエンドポイントとして外に見せる必要があるか」です。

Route Handler が要るのは、Webhook の受け口、モバイルアプリから使う API、HTML 以外（JSON、CSV、画像など）を返す用途です。公式でも Backend for Frontend のパターンとして紹介されています。

自分のアプリの画面からフォームを送るだけなら Server Function で十分で、エンドポイントを設計する手間が要らず、型もそのまま繋がります。

なお Route Handler は既定ではキャッシュされません。GET だけは明示的にキャッシュへ寄せられますが、それ以外のメソッドはキャッシュされない仕様です。